7评论

石头剪刀布的期望值,模拟及推理过程小谈

统一 2018-07-17 1.7k浏览

想免费获取内部独家PPT资料库?观看行业大牛直播?点击加入腾讯游戏学院游戏策划行业精英群361498939

这是来自GAD策划群的一个小问题:
两个人玩石头剪刀布的游戏,采用的是三局两胜制
(先胜2次者为赢家,如果已经2:0,则不需要进行第三次比试)
那么请问,平均要多少次比试才能分出一次胜负?

这个应该算是描述很简单的期望题了。
本来是应该安安分分用先数学求解的,可是现在已经看见求期望题,不管三七二十一先模拟了再说。
如图:
                                                                 运行的结果:

因为循环1000万次,所以平均值为3.75次。

心中有底了,就可以开始数学求解过程了。
数学求解其实就是一个累加的过程。
几乎任意的求期望都是一个公式
总期望值 = ∑单个集合的期望值
单个集合的期望值 = 该集合的几率 * 该集合的对局次数
(注:本体的集合是按照对接次数来分类的,不同的集合分类有不同的计算方式)
(注:单个集合 = ∑子集 ,一直细分直到有适合的算法为止,但本题一次细分就够了)

例如:A B对决,那么A两局胜的期望值就是
(注:不用看B的胜局,因为对称性,最终结果*2即可)
A胜 A胜
[1/3(第一次A胜的概率) * 1/3(第二次A胜的概率率)](A连胜的总概率) * 2(对局次数)

易得:
对决n局A最终获胜的期望值为:



如果这个都“易得”了,我这篇文章只要直接写答案就好了,没有存在的意义。
基本求期望值,最重要的一步就是求通项公式了,找不到通项公式计算量就会很大
数学求解的意义就没那么大了。

我们继续看看下一个去
(A代表A单局胜,B代表B单局胜,0代表平局)
A两局胜:         一种情况的出现几率 * 有都少种情况 * 需要对决次数
AA                  (1/3)^2 * (1 * 1 )* 2

A三局胜:
A0A
ABA
0AA
BAA                  (1/3) ^ 3 * (2 * 2) * 3

A四局胜:
A00A
AB0A
A0BA
0A0A
BA0A
0ABA
00AA
0BAA
B0AA                (1/3)^ 4 *(3 * 3 ) *4

由此可推:
A n 局胜:         (1/3) ^ n *[(n-1) ^2)] * n

通项公式找到,就好办了,如果懒得算就用excel拉表
(注:因为这个是指数函数,后面的值极小,可以忽略)
随手拉个100行
1.875 * 2 = 3.75

完工~