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OpenGL矩阵向量详解

文章来自https://www.cnblogs.com/bytemode/p/10218980.html 2019-03-18 59浏览

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如何创建一个物体、着色、加入纹理,给它们一些细节的表现,但因为它们都还是静态的物体,仍是不够有趣。我们可以尝试着在每一帧改变物体的顶点并且重配置缓冲区从而使它们移动,但这太繁琐了,而且会消耗很多的处理时间。我们现在有一个更好的解决方案,使用(多个)矩阵(Matrix)对象可以更好的变换(Transform)一个物体。本篇我们就来看看OpenGL中的矩阵向量。

向量

向量最基本的定义就是一个方向。或者更正式的说,向量有一个方向(Direction)和大小(Magnitude,也叫做强度或长度)。你可以把向量想像成一个藏宝图上的指示:“向左走10步,向北走3步,然后向右走5步”;“左”就是方向,“10步”就是向量的长度。那么这个藏宝图的指示一共有3个向量。向量可以在任意维度(Dimension)上,但是我们通常只使用2至4维。如果一个向量有2个维度,它表示一个平面的方向(想象一下2D的图像),当它有3个维度的时候它可以表达一个3D世界的方向。

下面你会看到3个向量,每个向量在2D图像中都用一个箭头(x, y)表示。我们在2D图片中展示这些向量,因为这样子会更直观一点。你可以把这些2D向量当做z坐标为0的3D向量。由于向量表示的是方向,起始于何处并不会改变它的值。下图我们可以看到向量vˉ和wˉ是相等的,尽管他们的起始点不同:

数学家喜欢在字母上面加一横表示向量,比如说vˉ。当用在公式中时它们通常是这样的:

由于向量是一个方向,所以有些时候会很难形象地将它们用位置(Position)表示出来。为了让其更为直观,我们通常设定这个方向的原点为(0, 0, 0),然后指向一个方向,对应一个点,使其变为位置向量(Position Vector)(你也可以把起点设置为其他的点,然后说:这个向量从这个点起始指向另一个点)。比如说位置向量(3, 5)在图像中的起点会是(0, 0),并会指向(3, 5)。我们可以使用向量在2D或3D空间中表示方向与位置。

和普通数字一样,我们也可以用向量进行多种运算(其中一些你可能已经看到过了)。

向量与标量运算

标量(Scalar)只是一个数字(或者说是仅有一个分量的向量)。当把一个向量加/减/乘/除一个标量,我们可以简单的把向量的每个分量分别进行该运算。对于加法来说会像这样:

其中的+可以是+,-,·或÷,其中·是乘号。注意-和÷运算时不能颠倒(标量-/÷向量),因为颠倒的运算是没有定义的。

向量取反

对一个向量取反(Negate)会将其方向逆转。一个指向东北的向量取反后就指向西南方向了。我们在一个向量的每个分量前加负号就可以实现取反了(或者说用-1数乘该向量):

向量加减

向量的加法可以被定义为是分量的(Component-wise)相加,即将一个向量中的每一个分量加上另一个向量的对应分量:

向量v = (4, 2)和k = (1, 2)可以直观地表示为:

就像普通数字的加减一样,向量的减法等于加上第二个向量的相反向量:

两个向量的相减会得到这两个向量指向位置的差。这在我们想要获取两点的差会非常有用。

长度

我们使用勾股定理(Pythagoras Theorem)来获取向量的长度(Length)/大小(Magnitude)。如果你把向量的x与y分量画出来,该向量会和x与y分量为边形成一个三角形:

因为两条边(x和y)是已知的,如果希望知道斜边vˉ的长度,我们可以直接通过勾股定理来计算:
||vˉ||表示向量vˉ的长度,我们也可以加上z2把这个公式拓展到三维空间。

例子中向量(4, 2)的长度等于:
结果是4.47。

有一个特殊类型的向量叫做单位向量(Unit Vector)。单位向量有一个特别的性质——它的长度是1。我们可以用任意向量的每个分量除以向量的长度得到它的单位向量n:

我们把这种方法叫做一个向量的标准化(Normalizing)。单位向量头上有一个^样子的记号。通常单位向量会变得很有用,特别是在我们只关心方向不关心长度的时候(如果改变向量的长度,它的方向并不会改变)。

向量相乘

两个向量相乘是一种很奇怪的情况。普通的乘法在向量上是没有定义的,因为它在视觉上是没有意义的。但是在相乘的时候我们有两种特定情况可以选择:一个是点乘(Dot Product),记作vˉ?kˉ,另一个是叉乘(Cross Product),记作vˉ×kˉ。

点乘

两个向量的点乘等于它们的数乘结果乘以两个向量之间夹角的余弦值。可能听起来有点费解,我们来看一下公式:

它们之间的夹角记作θ。为什么这很有用?想象如果vˉ和kˉ都是单位向量,它们的长度会等于1。这样公式会有效简化成:

现在点积只定义了两个向量的夹角。你也许记得90度的余弦值是0,0度的余弦值是1。使用点乘可以很容易测试两个向量是否正交(Orthogonal)或平行(正交意味着两个向量互为直角)。

所以,我们该如何计算点乘呢?点乘是通过将对应分量逐个相乘,然后再把所得积相加来计算的。两个单位向量的(你可以验证它们的长度都为1)点乘会像是这样:

点乘会在计算光照的时候非常有用。

叉乘

叉乘只在3D空间中有定义,它需要两个不平行向量作为输入,生成一个正交于两个输入向量的第三个向量。如果输入的两个向量也是正交的,那么叉乘之后将会产生3个互相正交的向量。接下来的教程中这会非常有用。下面的图片展示了3D空间中叉乘的样子:

下面你会看到两个正交向量A和B叉积:

矩阵

现在我们已经讨论了向量的全部内容,是时候看看矩阵了!简单来说矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组。矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)。下面是一个2×3矩阵的例子:

矩阵可以通过(i, j)进行索引,i是行,j是列,这就是上面的矩阵叫做2×3矩阵的原因(3列2行,也叫做矩阵的维度(Dimension))。这与你在索引2D图像时的(x, y)相反,获取4的索引是(2, 1)(第二行,第一列)(译注:如果是图像索引应该是(1, 2),先算列,再算行)。

矩阵基本也就是这些了,它就是一个矩形的数学表达式阵列。和向量一样,矩阵也有非常漂亮的数学属性。矩阵有几个运算,分别是:矩阵加法、减法和乘法。

矩阵的加减

矩阵与标量之间的加减定义如下:

标量值要加到矩阵的每一个元素上。矩阵与标量的减法也相似:

矩阵与矩阵之间的加减就是两个矩阵对应元素的加减运算,所以总体的规则和与标量运算是差不多的,只不过在相同索引下的元素才能进行运算。这也就是说加法和减法只对同维度的矩阵才是有定义的。一个3×2矩阵和一个2×3矩阵(或一个3×3矩阵与4×4矩阵)是不能进行加减的。我们看看两个2×2矩阵是怎样相加的:

同样的法则也适用于减法:

矩阵的数乘

和矩阵与标量的加减一样,矩阵与标量之间的乘法也是矩阵的每一个元素分别乘以该标量。下面的例子展示了乘法的过程:

现在我们也就能明白为什么这些单独的数字要叫做标量(Scalar)了。简单来说,标量就是用它的值缩放(Scale)矩阵的所有元素(译注:注意Scalar是由Scale + -ar演变过来的)。前面那个例子中,所有的元素都被放大了2倍。

矩阵相乘

矩阵之间的乘法不见得有多复杂,但的确很难让人适应。矩阵乘法基本上意味着遵照规定好的法则进行相乘。当然,相乘还有一些限制:
  1. 只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等,两个矩阵才能相乘。
  2. 矩阵相乘不遵守交换律(Commutative),也就是说A?B≠B?A。

我们先看一个两个2×2矩阵相乘的例子:

结果矩阵的维度是(n, m),n等于左侧矩阵的行数,m等于右侧矩阵的列数。

矩阵与向量相乘

我们用向量来表示位置,表示颜色,甚至是纹理坐标。向量和矩阵一样都是一个数字序列,但它只有1列。那么,这个新的定义对我们有什么帮助呢?如果我们有一个M×N矩阵,我们可以用这个矩阵乘以我们的N×1向量,因为这个矩阵的列数等于向量的行数,所以它们就能相乘。

很多有趣的2D/3D变换都可以放在一个矩阵中,用这个矩阵乘以我们的向量将变换(Transform)这个向量。

单位矩阵

在OpenGL中,由于某些原因我们通常使用4×4的变换矩阵,而其中最重要的原因就是大部分的向量都是4分量的。我们能想到的最简单的变换矩阵就是单位矩阵(Identity Matrix)。单位矩阵是一个除了对角线以外都是0的N×N矩阵。在下式中可以看到,这种变换矩阵使一个向量完全不变:

向量看起来完全没变。从乘法法则来看就很容易理解来:第一个结果元素是矩阵的第一行的每个元素乘以向量的每个对应元素。因为每行的元素除了第一个都是0,可得:1?1+0?2+0?3+0?4=1,向量的其他3个元素同理。

缩放

对一个向量进行缩放(Scaling)就是对向量的长度进行缩放,而保持它的方向不变。由于我们进行的是2维或3维操作,我们可以分别定义一个有2或3个缩放变量的向量,每个变量缩放一个轴(x、y或z)。

我们先来尝试缩放向量vˉ=(3,2)。我们可以把向量沿着x轴缩放0.5,使它的宽度缩小为原来的二分之一;我们将沿着y轴把向量的高度缩放为原来的两倍。我们看看把向量缩放(0.5, 2)倍所获得的sˉ是什么样的:

记住,OpenGL通常是在3D空间进行操作的,对于2D的情况我们可以把z轴缩放1倍,这样z轴的值就不变了。我们刚刚的缩放操作是不均匀(Non-uniform)缩放,因为每个轴的缩放因子(Scaling Factor)都不一样。如果每个轴的缩放因子都一样那么就叫均匀缩放(Uniform Scale)。

我们下面会构造一个变换矩阵来为我们提供缩放功能。我们从单位矩阵了解到,每个对角线元素会分别与向量的对应元素相乘。如果我们把1变为3会怎样?这样子的话,我们就把向量的每个元素乘以3了,这事实上就把向量缩放3倍。如果我们把缩放变量表示为(S1,S2,S3)我们可以为任意向量(x,y,z)定义一个缩放矩阵:

注意,第四个缩放向量仍然是1,因为在3D空间中缩放w分量是无意义的。w分量另有其他用途,在后面我们会看到。

位移

位移(Translation)是在原始向量的基础上加上另一个向量从而获得一个在不同位置的新向量的过程,从而在位移向量基础上移动了原始向量。我们已经讨论了向量加法,所以这应该不会太陌生。

和缩放矩阵一样,在4×4矩阵上有几个特别的位置用来执行特定的操作,对于位移来说它们是第四列最上面的3个值。如果我们把位移向量表示为(Tx,Ty,Tz),我们就能把位移矩阵定义为:

这样是能工作的,因为所有的位移值都要乘以向量的w行,所以位移值会加到向量的原始值上(想想矩阵乘法法则)。而如果你用3x3矩阵我们的位移值就没地方放也没地方乘了,所以是不行的。

齐次坐标(Homogeneous Coordinates)

向量的w分量也叫齐次坐标。想要从齐次向量得到3D向量,我们可以把x、y和z坐标分别除以w坐标。我们通常不会注意这个问题,因为w分量通常是1.0。使用齐次坐标有几点好处:它允许我们在3D向量上进行位移(如果没有w分量我们是不能位移向量的),而且下一章我们会用w值创建3D视觉效果。

如果一个向量的齐次坐标是0,这个坐标就是方向向量(Direction Vector),因为w坐标是0,这个向量就不能位移(译注:这也就是我们说的不能位移一个方向)。

有了位移矩阵我们就可以在3个方向(x、y、z)上移动物体,它是我们的变换工具箱中非常有用的一个变换矩阵。

旋转

上面几个的变换内容相对容易理解,在2D或3D空间中也容易表示出来,但旋转(Rotation)稍复杂些。如果你想知道旋转矩阵是如何构造出来的,我推荐你去看可汗学院线性代数的视频。

首先我们来定义一个向量的旋转到底是什么。2D或3D空间中的旋转用角(Angle)来表示。角可以是角度制或弧度制的,周角是360角度或2 PI弧度。我个人更喜欢用角度,因为它们看起来更直观。
  • 弧度转角度:角度 = 弧度 * (180.0f / PI)
  • 角度转弧度:弧度 = 角度 * (PI / 180.0f)
  • PI约等于3.14159265359。

转半圈会旋转360/2 = 180度,向右旋转1/5圈表示向右旋转360/5 = 72度。下图中展示的2D向量vˉ是由kˉ向右旋转72度所得的:

在3D空间中旋转需要定义一个角和一个旋转轴(Rotation Axis)。物体会沿着给定的旋转轴旋转特定角度。如果你想要更形象化的感受,可以试试向下看着一个特定的旋转轴,同时将你的头部旋转一定角度。当2D向量在3D空间中旋转时,我们把旋转轴设为z轴(尝试想象这种情况)。

使用三角学,给定一个角度,可以把一个向量变换为一个经过旋转的新向量。这通常是使用一系列正弦和余弦函数(一般简称sin和cos)各种巧妙的组合得到的。当然,讨论如何生成变换矩阵超出了这个教程的范围。

旋转矩阵在3D空间中每个单位轴都有不同定义,旋转角度用θ表示:

沿x轴旋转:

沿y轴旋转:

沿z轴旋转:

利用旋转矩阵我们可以把任意位置向量沿一个单位旋转轴进行旋转。也可以将多个矩阵复合,比如先沿着x轴旋转再沿着y轴旋转。但是这会很快导致一个问题——万向节死锁(Gimbal Lock,可以看看这个视频(优酷)来了解)。在这里我们不会讨论它的细节,但是对于3D空间中的旋转,一个更好的模型是沿着任意的一个轴,比如单位向量(0.662,0.2,0.7222)旋转,而不是对一系列旋转矩阵进行复合。这样的一个(超级麻烦的)矩阵是存在的,见下面这个公式,其中(Rx,Ry,Rz)代表任意旋转轴:

在数学上讨论如何生成这样的矩阵仍然超出了本节内容。但是记住,即使这样一个矩阵也不能完全解决万向节死锁问题(尽管会极大地避免)。避免万向节死锁的真正解决方案是使用四元数(Quaternion),它不仅更安全,而且计算会更有效率。

矩阵的组合

使用矩阵进行变换的真正力量在于,根据矩阵之间的乘法,我们可以把多个变换组合到一个矩阵中。让我们看看我们是否能生成一个变换矩阵,让它组合多个变换。假设我们有一个顶点(x, y, z),我们希望将其缩放2倍,然后位移(1, 2, 3)个单位。我们需要一个位移和缩放矩阵来完成这些变换。结果的变换矩阵看起来像这样:

注意,当矩阵相乘时我们先写位移再写缩放变换的。矩阵乘法是不遵守交换律的,这意味着它们的顺序很重要。当矩阵相乘时,在最右边的矩阵是第一个与向量相乘的,所以你应该从右向左读这个乘法。建议您在组合矩阵时,先进行缩放操作,然后是旋转,最后才是位移,否则它们会(消极地)互相影响。比如,如果你先位移再缩放,位移的向量也会同样被缩放(译注:比如向某方向移动2米,2米也许会被缩放成1米)!

用最终的变换矩阵左乘我们的向量会得到以下结果:

不错!向量先缩放2倍,然后位移了(1, 2, 3)个单位。

实践

OpenGL没有自带任何的矩阵和向量知识,所以我们必须定义自己的数学类和函数。在教程中我们更希望抽象所有的数学细节,使用已经做好了的数学库。幸运的是,有个易于使用,专门为OpenGL量身定做的数学库,那就是GLM